タイトルにすべて集約しました。
プロフィールアイコンの左上に赤丸&数字の「1」で通知が出たまま消えないのです。
ちなみにiPhoneにインストールしたMessengerアプリ上での話です（iPhoneホーム画面のアプリアイコンには特に何も出ていない）。
軽く調べてみると、メッセージリクエストに未読メッセージがあるのでは（友達以外のメッセージは通知に気付きにくい）的な記事がヒットしますが確認しても全部既読済み。
最終的にアプリを削除してインストールし直すとアイコン上の通知マークは消えました。Facebookアカウントと同期できるからそれで問題無かったのだけれど、まあ面倒臭いお話でした。
